Discusión: Las ruletas, "el timo de la martingala".

Desde hace ya bastante tiempo, vengo viendo ciertos spams que aseguran tener "un método infalible para ganar a la ruleta". Esperanzado en que leería algo parecido a la historia de los Pelayo, que vería argumentaciones matemáticas del estilo de las "test de Hipótesis", "test de la Chi-Cuadrado", ... me dispuse a leerlo: ¡Nada más lejos de la realidad!, desde luego a veces soy algo ingenuo...





Nuestro par de spamers timadores proponian el siguiente método que lo resumo a modo de algoritmo:

1. Apueste 1 € al color rojo, si aciertas has ganado 1 € y FIN, sino, pase al punto 2.
2. Doble la cantidad apostada al rojo (2 € si venimos del punto 1), si aciertas has ganado 1 € y FIN, sino vuelva al punto 2.

De ésta forma, construimos una sucesión con el dinero apostado de 1+2+4+8+.... hasta que acertemos. Lo "bueno", de éste método es que, al final del proceso, siempre ganamos 1 €.
Imaginaos por ejemplo que sale por primera vez rojo en la quinta tirada, habremos apostado 1+2+4+8+16 = 31 €, pero obtendremos 32 €, generando así, siempre 1 € de beneficio al final de la serie.

Con éste argumento nuestro par de timadores ya tiene montado el chiringuito playero, vamos a ver si se lo desmontamos, pues mucha gente habrá perdido un buen dinero por culpa de ellos.

La pregunta fundamental para empezar a encontrar respuestas es: "Y si todo es tan bonito, ¿aquí cuando se pierde dinero?". La respuesta es corta pero clara: En el momento en que no tengas suficiente dinero para doblar tu apuesta, habrás perdido todo lo apostado.
Ante ésta respuesta, algo dura para los intereses del timador, éste responde a su víctima: "pero no se preocupe, podría perder su dinero si su capacidad para doblar apuestas fuera escasa, pero si dispone de un capital importante, nunca se verá en esa situación".
Otra falacia más de nuestro timador, pues "nunca se vería en esa situación" si siempre tuviera la capacidad de poder doblar su apuesta, pero eso sólo ocurre si posee de un capital infinito, que no es el caso.

Llegados aquí, no sólo os diré que es un timo, os diré también que cuanto más capital utilicéis en el sistema, más dinero perderéis.
Aquí viene la demostración matemática, bajo la hipótesis de que la ruleta no posee imperfecciones (al menos relevantes ésto es obvio, para las otras imperfecciones ya tenemos a los Pelayo ):
Nuestra ruleta tendrá 18 números Rojos, 18 Negros y el Cero. Todos éstos números tendrán la misma probabilidad de salir.
La probabilidad de que salga color Rojo será de 18/37 y de que "no salga Rojo" será de 19/37.
Supongamos que nuestro límite de veces en las que podemos doblar el dinero a jugar es de m veces.
Al final de éste algoritmo, recordemos, sólo hay dos posibles soluciones, ó salimos ganando 1 € ó salimos perdiendo todo lo apostado por no poder seguir doblando. Cálculemos la probabilidad de que ocurra cada suceso:

P(Ganar 1 €)=(18/37) + (18/37)*(19/37) + (18/37)*[(19/37)^2] + ... + (18/37)*[(19/37)^m].
Él cálculo anterior sale de observar que, ganaremos 1 € si sale por primera vez Rojo en la primera tirada (18/37), ó en la segunda tirada (18/37)*(19/37), ó ...., ó en la tirada m+1, en la cual habremos doblado la cantidad inicial m veces.

Si realizamos ésta suma (es una série geométrica), el resultado es:
P(Ganar 1 €) = 1 -[(19/37)^(m+1)]
Y la otra salida del algoritmo es salir perdiéndo todo lo apostado:
P(Perder) = 1 - P(Ganar 1 €) = 1 - ( 1 -[(19/37)^(m+1)] ) = (19/37)^(m+1).
Cierto es que, como 0 < (19/37) < 1, a medida que aumenta el exponente m, la probabilidad de perder es menor. Lo que a menudo nos empeñamos en olvidar es que, cada vez que perdemos, no perdemos 1 € que es lo que ganamos, sino 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^m = [2^(m+1)] - 1 €.
Cálculemos la media entre ambas situaciones para saber si, al final de éste proceso, salimos ganando o perdiendo dinero. Notaré X a la variable aleatoria generada por éste proceso, dónde perdemos - ([2^(m+1)] - 1) € con una probabilidad de (19/37)^(m+1), y ganamos +1 € con una probabilidad de 1 -[(19/37)^(m+1)]. La media ó esperanza de éste proceso X, será:
E(X) = (1-[2^(m+1)])*[(19/37)^(m+1)] + 1*( 1 -[(19/37)^(m+1)] ) = ... = 1 - [(38/37)^(m+1)].

Observad que, debido a que 38/37 es ligeramente mayor que 1, no sólamente ésta esperanza o media es negativa, sino que además, a medida que aumenta el exponente m, nuestra esperanza se vuelve cada vez aún más negativa.

No os creais por lo tanto a éstos spamers timadores, pues sea cual fuere la cantidad que nos podamos jugar, a la larga acabaremos perdiendo dinero, y cuanto más invirtamos, más dura será la caída.

Salu2!