Discusión: Gestión del riesgo -

F OPTIMA

Supongamos que apostamos al siguiente juego:

Se trata de acertar el resultado, cara o cruz, de lanzar una moneda. Si acierta le pagan 5 veces lo apostado pero si falla pierde lo apostado. Debe arriesgar siempre el mismo porcentaje del capital disponible. Este juego tiene una esperanza matemática positiva porque la probabilidad de acertar o fallar es la misma, y sin embargo cada acierto nos reintegra 5 veces lo perdido por cada fallo. Es decir, a la larga ganaremos.



Al comienzo disponemos de 100 euros. ¿Cual es nuestra fracción óptima? Dicho de otro modo, ¿Qué cantidad apostamos?

1. 40% (o sea, empezar con 40 y luego el 40% de lo que nos quede)
2. 60% (o sea, empezar con 60 y luego el 60% de lo que nos quede)

La mayoría de la gente piensa que en un juego en que las perspectivas son positivas el resultado se maximiza arriesgando más. Por eso se cree, erróneamente, que sistemas como la Martingala son el camino más rápido para multiplicar un beneficio. Esto es falso y lo demostraremos con este juego.


En el juego tenemos unas expectativas de ganar, en media:

Expectativas = 0.50*5-0.50*1 = 2 veces lo apostado (en media)

Vamos a suponer que los aciertos se alternan con fallos aunque demostraremos más adelante que el orden no importa. Veamos que pasa si arriesgamos el 60%:

tengo 100. Apuesto 60. Gano. Resultado = 60*5+40=340

tengo 340. Apuesto 204(60%). Pierdo. Resultado = -204*1+340=136

tengo 136. Apuesto 82(60%). Gano. Resultado = +82*5+54=464

tengo 464. Apuesto 278(60%). Pierdo. Resultado = -278*1+464=186

tengo 186. Apuesto 111(60%). Gano. Resultado = +111*5+75=630

tengo 630. Apuesto 378(60%). Pierdo. Resultado = -378*5+630=252

tengo 252. Apuesto 151(60%). Gano. Resultado = +151*5+101=856

tengo 856. Apuesto 514(60%). Pierdo. Resultado = -514*1+856=342

tengo 342. Apuesto 205(60%). Gano. Resultado = +205*5+137=1162

Después de 9 operaciones resulta que hemos convertido los 100 euros iniciales en 1162. Vamos a compararlo con arriesgar el 40% en cada operación. Repetimos el experimento:

tengo 100. Apuesto 40. Gano. Resultado = 40*5+60=260

tengo 260. Apuesto 104(40%). Pierdo. Resultado = -104*1+260=156

tengo 156. Apuesto 62(40%). Gano. Resultado = +62*5+94=404

tengo 404. Apuesto 162(40%). Pierdo. Resultado = -162*1+404=242

tengo 242. Apuesto 97(40%). Gano. Resultado = +97*5+145=630

tengo 630. Apuesto 252(40%). Pierdo. Resultado = -252*5+630=378

tengo 378. Apuesto 151(40%). Gano. Resultado = +151*5+227=982

tengo 982. Apuesto 393(40%). Pierdo. Resultado = -393*1+982=589

tengo 589. Apuesto 235(40%). Gano. Resultado = +235*5+354=1529

Resulta que ahora invirtiendo una menor cantidad (solo el 40%) y reinvirtiendo los beneficios se obtiene un capital final de 1529 que es superior a lo obtenido arriesgando más. Se puede comprobar que si seguimos aumentando el riesgo (100%) en solo 2 operaciones quedamos en bancarrota. La relación entre riesgo y recompensa al reinvertir los beneficios no es lineal.

En el gráfico anterior se puede ver un gráfico del capital final reinvirtiendo los beneficios con respecto del porcentaje del capital arriesgado. La f óptima es 0.40. No se saca más por arriesgar más. En realidad si nos vamos muy a la derecha de 0.40 es cuestión de tiempo que terminemos en bancarrota (más a la derecha, menos tiempo).


Reinvertir los beneficios

Cualquier sistema con el que se apueste proporciona una ganancia promedio. Es un dato que nos dice en media cuanto podemos ganar con el sistema. Este dato nos dice lo que podemos esperar sin reinvertir los beneficios. Cuando se trata de volver a aplicar el capital ganado (o perdido) hay que fijarse en la media geométrica en lugar de la media aritmética. La media aritmética tiene que ser positiva (ganar más de lo que se pierde) para que el sistema resulte en ganancia, pero la cuantía de esa ganancia viene determinada por la media geométrica del sistema.

La media geométrica es:

GEOM=((1+op1/MD)*(1+op2/MD)*(1+op3/MD)....)^(1/N)

siendo op1...opN las N operaciones del sistema, MD es la pérdida máxima a la que estamos expuestos.

De dos sistemas a comparar, el que tenga la mayor media geométrica es aquel que produce mayores beneficios al reinvertir el capital.

Introducción a la f óptima

Si añadimos un factor f a cada operación y buscamos el valor que haga la media geométrica mayor tenemos:

Max(GEOM)=Max( (1+f*op1/MD)*(1+f*op2/MD)*(1+f*op3/MD)*....)

El valor de f que hace que el término anterior sea máximo es la f óptima.

Para aclarar los conceptos vamos a aplicarlo al ejemplo anterior de la apuesta en la que se gana 5 veces o se pierde lo apostado:

Max(GEOM)=Max((1+f*5/1)*(1-f/1))=Max((1+5f)*(1-f))=Max(1+4f-5f^2)

La función 1+4f-5f^2 tiene un máximo en f=0.40. Este máximo puede obtenerse derivando f e igualando a cero, o bien dando valores de f, por ejemplo de 0 a 100, y localizando el máximo resultado:

f=0.1 --> 1.35

f=0.2 --> 1.60

f=0.3 --> 1.75

f=0.4 --> 1.80

f=0.5 --> 1.75

f=0.6 --> 1.60

f=0.7 --> 1.35

Se puede ver como por encima de 0.40 la ganancia empieza a disminuir. A partir de la f óptima no se gana más por arriesgar más, todo lo contrario. Si en lugar de apostar el 40% se hubiera apostado el 39% o el 41% no se obtendrá tanto beneficio. El lector debe tomarse su tiempo y armarse de calculadora y lápiz para hacer unos cuantos cálculos y así entender perfectamente un concepto que no es intuitivo. La relación riesgo/beneficio no es lineal como la mayoría de la gente piensa. Por arriesgar más no se gana más. Hay que tener siempre en mente la curva de campana.

Para el sistema del ejemplo:

GEOM=(1.80)^(1/2)=1.3416

Con este sistema en media se debe tener un 34% de ganancia al reinvertir los beneficios. Otro sistema con una media menor dará menos ganancia cuando se use óptimamente.

PD: Fuente original.